Truco

Optimización con Variables de Decisión Continua


La Figura 4.1 ilustra la muestra del modelo de optimización continua. El ejemplo planteado utiliza el archivo de Optimización Continua que se encuentra en el menú de inicio en Inicio | Real Options Valuation | Simulador de Riesgo | Ejemplos o ingrese directamente a través de Simulador de Riesgo | Modelos de Ejemplo. En este ejemplo, hay 10 clases de activos financieros (por ejemplo, diferentes tipos de fondos mutuos, acciones, o capitales) donde la idea es colocar los activos del portafolio de la forma más eficiente hasta que se obtenga la mejor relación retorno-riesgo. Es decir, para generar los mejores retornos del portafolio dados los riesgos inherentes de cada clase de activo. Para entender verdaderamente el concepto de optimización, tendremos que ahondar más profundamente en este modelo de prueba,  para ver como el proceso de optimización aplicado encuentra los mejores resultados.                          

El modelo muestra 10 clases de activos y cada una tiene su propio conjunto de retornos y volatilidades anualizadas. Estas medidas de retorno y riesgo son valores anualizados tales que pueden ser consistentemente comparados entre las diferentes clases de activos. Los retornos son calculados usando el promedio geométrico de los retornos relativos, mientras que los riesgos son calculados usando el enfoque de logaritmo relativo de los activos. Vea el índice en este capítulo para encontrar más detalles sobre el cálculo de la volatilidad anualizada y los retornos anualizados en una acción o clase de activo.                    

Figura 4.1 Modelo de Optimización Continua

Los Pesos de Colocación (porcentaje de cada activo invertido en la cartera) en la columna E contienen las variables de decisión, las cuales son las variables que necesitaran ser ajustadas y probadas de tal manera que el peso total este limitado en 100% (celda E17, suma de todos los activos del portafolio). Normalmente para iniciar la optimización, estableceremos estás celdas con un valor uniforme, donde, dado el caso, las celdas E6 hasta la E15 son definidas cada una al 10%. Además, cada variable de decisión podría tener restricciones específicas y un rango permitido. En este ejemplo, los limites inferiores y superiores de inversión permitidos son 5% y 35% respectivamente, como se ve en las columnas F y G. Esto significa que cada clase de acción o activo podría tener sus propios límites de asignación. Después, la columna H muestra el cociente que relaciona al retorno y al riesgo de cada activo relacionado, el cual es simplemente el porcentaje de retorno dividido entre el porcentaje de riesgo, en el cual entre más alto es este valor, más alta la relación de beneficio dado un nivel de riesgo implícito. El modelo restante muestra las clasificaciones de clases de activo individual clasificado en términos de retornos, riesgo, cociente riesgo/retorno, y porcentaje invertido o colocación. En otras palabras, estás clasificaciones muestran a primera vista que clase de activo tiene el riesgo más bajo, el retorno más alto, y así sucesivamente.                   

Los retornos totales del portafolio se encuentran en la celda C17 con la formula de Excel SUMPRODUCT (C6:C15, E6:E15), es decir, la suma los pesos de colocación o inversión  multiplicado por las ganancias anualizadas para cada clase de activo. En otras palabras, tenemos, donde RP es el retorno total del portafolio, RA,B,C,D son  las ganancias individuales de los activos, y wA,B,C,Dson los pesos respectivos, porcentajes invertidos o colocaciones de cada activo.

Además, el riesgo diversificado del portafolio se ubica en la celda D17 es calculado al tomar  . Aquí, r i,j son las respectivas correlaciones cruzadas entre las clases de activos––por ende, si las correlaciones cruzadas son negativas, hay efectos de diversificación del riesgo, y el riesgo de portafolio disminuye. Pero, para simplificar los cálculos aquí mostrados, suponemos correlaciones cero entre las clases de activos en este cálculo del riesgo del portafolio, pero suponemos en las correlaciones que se aplican en la simulación en los retornos como se verá más tarde. De ahí que, en vez de aplicar correlaciones estáticas entre estos diferentes retornos de los activos, aplicamos las correlaciones en los mismos supuestos de simulación, creando una relación más dinámica entre los valores simulados de los retornos.                    

Finalmente, el cociente de riesgo/retorno o Cociente Sharpe se calcula para el portafolio. Este valor se ve en la celda C18, y representa el objetivo a ser maximizado en este ejercicio de optimización. Para resumir, tenemos las siguientes especificaciones en este modelo de ejemplo:             

Objetivo:                                                              Maximizar el Cociente de Retorno/Riesgo (C18)                       

Variables de Decisión:                                      Asignación de porcentajes de inversión (E6:E15)                     

Restricciones en Variables de Decisión:       Mínimo y  Máximo Requerido (F6:G15)                       

Restricciones:                                                      Suma de Pesos de Colocación Total igual al 100%(E17)

Procedimiento:

*        Abrir el archivo de ejemplo e inicie un nuevo perfil y dar Click en Simulador de Riesgo | Nuevo Perfil y asígnele un nombre.

*        El primer paso en la optimización es establecer las variables de decisión. Seleccione la celda E6 y establezca la primera variable de decisión (Simulador de Riesgo | Optimización | Establecer Decisión) y de Click en el icono para vincular y seleccionar el nombre de la celda (B6), así como los límites inferiores y superiores en las celdas F6 y G6. Después, usando la herramienta de Copia del Simulador de Riesgo, copie está variable de decisión de la celda E6 y Pegue la variable de decisión a las celdas restantes en E7 a E15.                   

*        El segundo paso en la optimización es establecer la restricción. Hay solo una restricción aquí, esto es, la colocación total en el portafolio debe sumar 100%. Así que, de Click en  Simulador de Riesgo | Optimización | Establecer Restricción… y seleccione ADD para añadir una nueva restricción. Entonces, seleccione la celda E17 e iguálela (=) al 100%. Y de Click en OK cuando termine. 

*        El paso final en la optimización es establecer la función objetivo e iniciar la optimización. Al seleccionar la celda de objetivo C18 y Simulador de Riesgo | Optimización | Optimización de Corrida y escoger la opción de optimización (Optimización Estática, Optimización Dinámica, o la Optimización Estocástica). Para comenzar, seleccione Optimización Estática. Verifique que la celda objetivo está establecida para C18 y seleccione Maximizar. Ahora puede revisar las variables de decisión y restricciones si se requieren, o de Click OK para correr la optimización estática.                                                

*        Una vez que se completa la optimización, usted podría seleccionar Revertir para regresar a los valores originales de las variables de decisión así como el objetivo, o seleccione Reemplazar para aplicar las variables de decisión optimizadas. Regularmente, Reemplazar se escoge después de que se termina la optimización.        

La Figura 4.2 muestra las pantallas de este procedimiento paso a paso. Usted puede añadir supuestos de simulación en los retornos y el riesgo del modelo (columnas C y D) y aplique la optimización dinámica y la optimización estocástica para una práctica adicional.        

Figura 4.2 Correr Optimización Estática en el Simulador de Riesgo

Interpretación de Resultados:

Los resultados finales de la optimización se muestran en la Figura 4.3, donde la colocación óptima de capitales para el portafolio se ve en las celdas E6:E15. Es decir, dadas las restricciones de cada capital fluctuando entre 5% y 35%, donde la suma de la colocación debe ser igual a 100%, la colocación que maximiza la ganancia al cociente de riesgo se ve en la Figura 4.3.           

Solo algunas cosas importantes se tienen que notar cuando se revisen los procedimientos de optimización y resultados ejecutados hasta ese momento:         

  • La manera correcta de correr la optimización es maximizar la relación retorno/riesgo o ganancias del Cociente Sharpe de riesgo como lo hemos hecho.
  • Si, en vez, maximizamos las ganancias de portafolio en total, el resultado de colocación óptima es trivial y no requiere obtener una optimización. Esto es, simplemente coloque 5% (el mínimo permitido) a los 6 activos más bajos, 35% (el máximo permitido) al activo con mayores retornos, y el restante (25%) a las retornos de los activos en segundo plano. La optimización no es requerida. Sin embargo, al colocar el portafolio de esta manera, el riesgo es mucho más alto en términos comparativos, cuando se maximiza las ganancias al cociente de riesgo, aunque las ganancias del portafolio por sí mismas son más altas.                     
  • En contraste, uno puede minimizar el riesgo total del portafolio, pero ahora las ganancias serán menores.

La Tabla 4.1 ilustra los resultados de tres diferentes objetivos que están siendo optimizados:

Tabla 4.1 Resultados de la Optimización.

De la tabla, el mejor enfoque es Maximizar el cociente de Retorno/Riesgo, es decir, por la misma  cantidad de riesgo, está colocación provee un mayor monto de retornos. Inversamente, por el mismo monto de retornos, está colocación provee el monto más bajo de posible de riesgo. Este enfoque de maximización de la relación Retorno/Riesgo es la piedra angular de la frontera eficiente de Markowitz en la teoría moderna de portafolio. Es decir, si restringimos los niveles de riesgo del portafolio total y sucesivamente lo incrementamos (riesgo) con el tiempo obtendremos varias colocaciones eficientes de portafolio para diferentes preferencias de riesgo. Así, diferentes colocaciones eficientes de portafolio se pueden obtener para diferentes individuos con diferentes preferencias de riesgo.                    

Figura 4.3 Resultados de Optimización Continua

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